23 июля на Международном конгрессе математиков в Филадельфии были названы лауреаты Филдсовской премии 2026 года. Награды получили Юй Дэн из Чикагского университета, Джон Пардон из Университета Стоуни-Брук, Джейкоб Цимерман из Университета Торонто и Хун Ван, работающая в Нью-Йоркском университете и французском Институте высших научных исследований.

Филдсовскую медаль часто называют математическим аналогом Нобелевской премии, хотя устроена она иначе. Её присуждают раз в четыре года не более чем четырём математикам, которым ещё не исполнилось сорока лет. Комитет оценивает не только уже сделанные открытия, но и способность учёного изменить дальнейшее развитие математики. Денежная часть награды сравнительно невелика — каждому лауреату полагается 15 тысяч канадских долларов. Главная ценность медали — признание того, что её обладатель открыл новый путь для всей науки.

Но официальные объяснения заслуг лауреатов почти невозможно понять без специальной подготовки. «Нелинейные уравнения в частных производных», «симплектическая геометрия», «о-минимальные структуры», «геометрическая теория меры» — за этими словами легко потерять сами открытия.

На самом деле каждый из четырёх лауреатов решал задачу, которую можно хотя бы приблизительно представить.

Юй Дэн пытался понять, как из хаотического движения отдельных частиц возникает предсказуемое поведение целого вещества.

Представим воздух в комнате. В нём движется огромное количество молекул. Они летят в разные стороны, сталкиваются друг с другом, меняют скорость и направление. Теоретически движение каждой молекулы подчиняется законам механики. Но проследить одновременно за всеми частицами невозможно — их слишком много.

Поэтому физика описывает газ иначе. Вместо траектории каждой молекулы она рассматривает вероятность того, что некоторое количество частиц окажется в определённом месте и будет двигаться с определённой скоростью. Для этого используется уравнение Больцмана, сформулированное ещё в XIX веке.

Оно прекрасно работает. Но между двумя описаниями долго оставалась пропасть.

С одной стороны — отдельные частицы, которые сталкиваются, как крошечные бильярдные шары. С другой — газ как единая среда, обладающая температурой, давлением и плотностью. Физики были уверены, что второе должно следовать из первого. Однако строго математически доказать этот переход на достаточно больших промежутках времени не удавалось.

Юй Дэн вместе с коллегами показал, как из механики множества сталкивающихся твёрдых частиц действительно возникает уравнение Больцмана. Иными словами, он доказал, что статистическое описание газа — не просто удобная человеческая выдумка, а закономерное следствие поведения его мельчайших составляющих. Эта задача относится к шестой проблеме знаменитого списка Давида Гильберта, представленного математикам ещё в 1900 году.

В более широком смысле работа Дэна посвящена одному из главных вопросов науки: как из хаоса на малом уровне возникает порядок на большом. Отдельная молекула движется почти непредсказуемо, но миллиарды молекул вместе образуют газ, свойства которого можно измерять и рассчитывать.

Джон Пардон изучает не столько привычные геометрические фигуры, сколько пространства всех возможных движений.

Обычная геометрия спрашивает, как устроен предмет. Симплектическая геометрия, которой занимается Пардон, помогает описывать, как система может двигаться и изменяться, не нарушая фундаментальных законов механики. В таком пространстве одна точка может обозначать не положение частицы, а всё её состояние сразу — где она находится и с какой скоростью движется.

Внутри подобных многомерных пространств возникают особые кривые и поверхности. Их подсчёт позволяет математикам отличать один сложный объект от другого и понимать его внутреннее устройство. Но посчитать такие кривые буквально часто невозможно: они могут сливаться, распадаться, образовывать целые семейства или исчезать при небольшом изменении условий.

Математики создали несколько хитроумных способов такого подсчёта. Проблема заключалась в том, что разные методы давали совершенно разные последовательности чисел. Возникло предположение: на самом деле они считают одно и то же, просто смотрят на объект с разных сторон.

Это похоже на два реестра одного города. В одном жители распределены по домам, в другом — по семьям. Цифры и принципы учёта не совпадают, но оба реестра описывают одно население. Если доказать точное соответствие между ними, сведения из одного реестра можно переводить в другой.

Джон Пардон доказал такое соответствие для двух важнейших способов подсчёта кривых в специальных многомерных пространствах, называемых многообразиями Калаби — Яу. Тем самым он решил проблему, над которой математики работали около двадцати лет, и позволил свободно переходить между двумя ранее разделёнными математическими языками. Результат имеет значение не только для геометрии: пространства Калаби — Яу возникают и в некоторых версиях теории струн, пытающейся связать квантовую физику и гравитацию.

Кроме того, Пардон получил важные результаты в теории узлов и топологии — науке о свойствах пространства, которые сохраняются при растяжении и деформации. Для тополога чашка с ручкой и бублик родственны: в обоих объектах есть одно отверстие. Но узел нельзя превратить в обычное кольцо, не разрезав нить. Пардон научился находить и доказывать гораздо более тонкие различия между такими объектами.

Джейкоб Цимерман искал геометрические причины числовых совпадений.

Пусть у нас есть уравнение и график его решений. Иногда этот график проходит через точку с целыми координатами. Одна такая точка может оказаться случайностью. Но если особенных точек неожиданно много, естественно предположить, что за ними скрывается закономерность.

Именно на этой границе встречаются теория чисел и геометрия. Числа начинают образовывать формы, а формы — рассказывать что-то о числах.

Гипотеза Андре — Оорта, над которой работал Цимерман, в очень упрощённом виде утверждает: если в сложном геометрическом пространстве возникает слишком много точек с особыми арифметическими свойствами, они появляются там не случайно. Должна существовать более крупная геометрическая структура, которая объясняет их расположение.

Цимерман внёс ключевой вклад в доказательство этой гипотезы. Для этого он соединил теорию чисел и алгебраическую геометрию с математической логикой — областью, которая на первый взгляд находится от них очень далеко.

В частности, он использовал о-минимальность — систему правил, позволяющую отделять сложные, но управляемые структуры от действительно хаотических. В некотором смысле это математический способ «приручить» пространство: установить, какие причудливые образования в нём допустимы, а какие невозможны.

Ценность работы Цимермана заключается не только в решении одной задачи. Он помог превратить инструменты математической логики в рабочий метод для геометрии и теории чисел. С их помощью удалось доказать несколько крупных гипотез и обнаружить скрытую алгебраическую структуру там, где раньше математики видели лишь сложные аналитические объекты. Его результаты связаны и с гипотезой Ходжа — одной из семи задач тысячелетия, за решение каждой из которых назначена премия в миллион долларов.

Самую наглядную задачу решила Хун Ван. Для её формулировки достаточно представить обычную иглу.

В 1917 году японский математик Соити Какэя задал вопрос: насколько маленькой может быть область, внутри которой иглу можно повернуть так, чтобы она побывала во всех возможных направлениях?

Первый ответ кажется очевидным: достаточно круга, диаметр которого равен длине иглы. Если вращать иглу вокруг её середины, она заметёт весь круг.

Но иглу необязательно вращать на одном месте. Её можно одновременно поворачивать и сдвигать, подобно автомобилю, который разворачивается в тесном дворе. Выяснилось, что таким способом можно обойтись значительно меньшей площадью.

Затем произошло нечто совсем странное. Математики доказали, что на плоскости можно расположить отрезки, направленные во все возможные стороны, внутри множества, площадь которого фактически равна нулю. Речь уже идёт не о физическом движении металлической иглы, а об абстрактной совокупности отрезков. Их можно перекладывать и накладывать друг на друга так, что занимаемая ими площадь становится сколь угодно малой.

В трёхмерном пространстве вопрос оказался гораздо сложнее.

Может ли множество содержать отрезок, направленный в любую сторону, и при этом оставаться по существу плоским или похожим на тонкую поверхность? Гипотеза Какэя утверждала, что нет. Такое множество может иметь нулевой объём, но его геометрическая размерность всё равно должна быть полной — трёхмерной. Обилие направлений не позволяет ему окончательно «сплющиться».

Хун Ван вместе с Джошуа Залем доказала трёхмерный вариант этой гипотезы. Работа заняла 127 страниц и завершила многолетний поиск, в котором участвовали крупнейшие специалисты по геометрии и математическому анализу.

Задача об игле важна не из-за необходимости проектировать особенно тесные комнаты. Она связана с тем, как волны и сигналы распространяются одновременно во множестве направлений. Из неё вырастают проблемы гармонического анализа, оптики, уравнений волн и обработки сигналов. Решение Ван открыло путь к доказательству целой группы других результатов. Для пространств четырёх и более измерений гипотеза Какэя пока остаётся нерешённой.

Хун Ван стала третьей женщиной, получившей Филдсовскую медаль за всю девяностолетнюю историю награды. До неё лауреатами становились Марьям Мирзахани в 2014 году и Марина Вязовская в 2022-м.

Работы четырёх лауреатов кажутся совершенно разными. Один изучает молекулы газа, другой считает кривые в многомерных пространствах, третий ищет геометрические причины числовых совпадений, четвёртая пытается повернуть воображаемую иглу.

Но во всех четырёх случаях речь идёт об одном и том же.

О переходе от частного к целому.

Из беспорядочных столкновений частиц возникает предсказуемое поведение газа. За разными способами подсчёта обнаруживается один геометрический объект. За множеством арифметических совпадений — скрытая структура. За бесконечным количеством направлений — неизбежная полнота пространства.

Возможно, именно поэтому подобные открытия получают высшую математическую награду. Не потому, что они дают очередную полезную формулу, которую завтра вставят в компьютерную программу. А потому, что показывают: там, где человеческий глаз видит хаос, случайность или набор несвязанных явлений, может существовать строгий и доказуемый порядок.